Dowodzenie nierówności

Rozwiąż poniższe zadanie pochodzące z Olimpiady Matematycznej. W rozwinięciu wpisu znajdziesz sposób rozwiązania krok po kroku.

Należy dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych x, y, x takich, że $x^2+y^2+z^2=2$ spełniona jest nierówność $x+y+z\leqslant 2+ xyz$ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia: $u=yz, v=zx, w=xy, s=x+y+z, q=xyz$

Z założenia, że $x^2+y^2+z^2=2$, wynikają równości:

$x^2+(y-z)^2=2-2u$
$y^2+(z-x)^2=2-2v$
$z^2+(x-y)^2=2-2w$

Lewe strony są liczbami nieujemnymi. Stąd $u,v,w\leqslant 1$. Mamy więc nierówność
(1)$(1-u)(1-v)(1-w)\geqslant 0$

Z przyjętych oznaczeń wynika, że

$s^2=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(yz+zx+xy)=2(u+v+w)$
czyli $u+v+w={1\over 2}s^2-1$
Ponadto $vw+wu+uv=x^{2}yz+y^{2}zx+z^{2}xy=sq$

oraz $uvw=(yz)(zx)(xy)=q^2$

Mamy zaś udowodnić, że

(2) $s-q\leqslant 2$

Przekształcamy lewą stronę nierówności (1), korzystając ze związków uzyskanych powyżej:

$(1-u)(1-v)(1-w)=1-(u+v+w)+(vw+wu+uv)-uvw=$
$1-({1\over 2}s^2-1)+sq-q^2=2-{1\over2}(s-q)^2-{1\over2}q^2$

Zgodnie z (1), jest to liczba nieujemna. Zatem

$\frac{1}{2}(s-q)^2\leqslant 2-\frac{1}{2}q^2$

Ponieważ zaś (3) $q^2\geqslant 0$,

wnosimy stąd, że $(s-q)^2\leqslant 4$, czyli

$|s-q|\leqslant 2$.
Dowodzona nierówność (2) wynika stąd natychmiast.

Aby stała się ona równością, konieczne są znaki równości w szacowaniach (1) i (3). Równość w (3) oznacza, że jedna z liczb x, y z jest zerem. Niech na przykład z=0. Wtedy u=v=0 i równość w (1) oznacza, że w=1, czyli xy=1. Wreszcie, skoro q=0, zatem postulowana równość w (2) przybiera postać s=2, czyli x+y=2.

Jedynym rozwiązaniem układu równań: x+y=2, xy=1 jest x=y=1.

Przyjęliśmy przykładowo, że z=0. Oczywiście jeśli x=0 lub y=0, to - odpowiednio - uzyskujemy związek y=z=1 lub z=x=1 jako konieczny warunek zachodzenia równości w (2).

I na odwrót: jeśli dwie spośród liczb x, y, z są jedynkami, a jedna zerem, to udowodniona nierówność staje się równością. Jest to więc warunek konieczny i dostateczny.

Zadanie pochodzi z XLII Olimpiady Matematycznej. Źródło: http://archom.ptm.org.pl/