Liczba 2010

W wielu olimpiadach i konkursach matematycznych zdarza się tak, że jeśli w zadaniu ma pojawić się jakaś liczba naturalna, to jego twórcy decydują się żeby ta liczba była równa numerowi roku, w którym dany konkurs się odbywa.

Na przykład:

- Brazylijska Olimpiada Matematyczna 2009- zadanie 1. i 3.
- OM- etap III, zadanie 3.
- Indyjska Olimpiada Matematyczna 1989 - zadanie 1.

Warto więc przyjrzeć się liczbie 2010. Najistotniejszą rzeczą jest jej rozkład na czynniki pierwsze, czyli

$2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$

Widać więc, że liczba 2010 nie dzieli się przez żadną potęgę o wykładniku $> \ 1$ (pomijając potęgi jedynki).

Teraz wartości niektórych funkcji z teorii liczb dla argumentu 2010:

$\phi(2010)=\phi(2) \cdot \phi(3) \cdot \phi(5) \cdot \phi(67) = 2 \cdot 4 \cdot 66 = 528$ - funkcja Eulera

$\lambda(2010)= NWW(\lambda(2),\lambda(3),\lambda(5),\lambda(67))=132$ - funkcja Carmichaela

$\mu(2010)=1$ - funkcja Mobiusa

Oczywiście bardzo rzadko zdarza się, aby sama znajomość powyższych faktów wystarczyła do rozwiązania zadania, ale mogą się one okazać pomocne :)

Na koniec zostawiam cztery sympatyczne zadania z liczbą 2010 w treści:

1. Kombinatoryka:

Wykazać, że w grupie 2010-ciu zarejestrowanych użytkowników pewnego forum matematycznego istnieje dwóch takich, którzy mają taką samą liczbę znajomych z tej grupy.

2. Teoria liczb:

Pokaż, że liczba $2010^5 + 2010^4 + 1$jest złożona.

3. Nierówność:

a) łatwiejsza

Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $a_1 , a_2 , ... , a_{2010}$ zachodzi nierówność

$\frac{a_1}{a_1 + 1} + \frac{a_2}{(a_1 + 1)(a_2 + 1)}+...+\frac{a_{2010}}{(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_{2010}+1)} \ < \ 1$

b) trudniejsza

Udowodnić, że

$2010^{2010} \ > \ 2011^{2009}$

Zachęcam do spróbowania swoich sił w krótkie czerwcowe wieczory :)

Jeśli potrzebujesz odpowiedzi, zajrzyj tutaj.

[Chojno]

Autor ma 19 lat i z matematyką wiąże swoją przyszłość. Prowadzi Niezłego Bloga w serwisie http://www.matma4u.pl/.